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Testamento em vida: quanto custa e como fazerData de publicação 28 de setembro de 202612 minutos de leitura
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Modelo Black-Scholes: o que é e como calcular o preço de opções
Usado no mercado de opções para estimar o valor justo de um contrato, o modelo criado por Fischer Black e Myron Scholes segue como referência entre investidores que buscam decisões mais informadas.
Publicado em: 28 de setembro de 2026
Categoria Educação financeiraTempo de leitura: 16 minutosTexto de: Time Serasa
Quem começa a operar opções na bolsa de valores tem uma dúvida comum: quanto vale o direito de comprar ou vender um ativo por um preço já combinado no futuro? O modelo Black-Scholes foi criado para responder exatamente a isso, com uma fórmula que transforma cinco variáveis do mercado em um preço teórico da opção.
Publicado em 1973 pelos economistas Fischer Black e Myron Scholes, o modelo se tornou uma referência para investidores e instituições financeiras. Compreender sua lógica ajuda a interpretar por que o preço de uma opção sobe ou desce, mesmo quando o preço do ativo continua no mesmo patamar.
O que é e para que serve o modelo Black-Scholes
O modelo Black-Scholes é uma fórmula matemática usada para calcular o preço teórico justo de uma opção de compra ou de venda, a partir de cinco variáveis do mercado. Ele não prevê se o preço vai subir ou cair, apenas estima quanto esse direito deveria valer hoje.
O economista Robert Merton ampliou a formulação original pouco depois de sua publicação, e por isso o modelo também é conhecido como Black-Scholes-Merton. Em 1997, Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de Economia pelo trabalho (Fischer Black já havia falecido em 1995, e o prêmio não é concedido postumamente).
Antes do modelo, precificar opções dependia muito de estimativas subjetivas de cada operador. Com uma fórmula padronizada, corretoras, gestores de fundos e plataformas de análise passaram a ter uma referência comum para comparar o preço teórico com o preço praticado no pregão.
As cinco variáveis principais do cálculo de Black-Scholes
Na versão básica do modelo, o preço de uma opção depende de cinco variáveis principais. Cada um se move em uma direção diferente e, juntos, formam a fórmula completa.
| Variável | O que representa | Efeito sobre o preço da opção de compra |
|---|---|---|
| Preço do ativo | Cotação atual do ativo-objeto (uma ação, por exemplo) | Quanto maior, mais caro tende a ser o direito de compra |
| Preço de exercício (strike) | Valor pelo qual o titular pode comprar ou vender o ativo | Quanto maior o strike em relação ao preço atual, mais barata a opção de compra |
| Tempo até o vencimento | Prazo restante até a data de exercício | Mais tempo tende a aumentar o valor, porque amplia a chance de movimento favorável |
| Taxa de juros livre de risco | Taxa utilizada como aproximação da taxa livre de risco no período | Juros mais altos tendem a elevar o preço da opção de compra |
| Volatilidade | Intensidade das oscilações esperadas do ativo | Quanto maior a volatilidade, mais caro tende a ser o contrato |
A combinação dessas cinco variáveis, e não apenas uma delas isoladamente, é o que determina o preço final estimado pelo modelo.
Assista | Como investir no tesouro direto - Serasa Ensina
Como a volatilidade do ativo afeta o preço de uma opção
Quanto maior a volatilidade esperada de um ativo, mais caro tende a ficar o preço de uma opção sobre ele, tanto de compra quanto de venda. Isso acontece porque a volatilidade amplia a chance de o ativo se mover para um patamar favorável ao titular do contrato antes do vencimento.
Existem duas formas de olhar para a volatilidade dentro do modelo. A volatilidade histórica é calculada a partir das oscilações passadas do preço do ativo, em um período definido. A volatilidade implícita segue o caminho inverso: parte do preço de mercado da própria opção e usa o modelo Black-Scholes de trás para a frente, para descobrir qual volatilidade o mercado está embutindo naquele preço.
É justamente essa volatilidade implícita que investidores mais técnicos acompanham de perto, porque ela reflete a expectativa coletiva do mercado sobre a instabilidade futura de um ativo. Assim como a marcação a mercado ajusta diariamente o preço de outros ativos financeiros, a volatilidade implícita das opções também se move todos os dias, conforme muda a percepção de risco do mercado.
O papel das gregas (Delta, Gamma, Theta e Vega) no modelo Black-Scholes
As gregas são indicadores derivados do modelo Black-Scholes que medem a sensibilidade do preço de uma opção a cada uma das variáveis envolvidas. Elas ajudam o investidor a entender não só quanto vale a opção hoje, mas como esse valor tende a reagir a mudanças no mercado.
| Grega | O que mede | Como é usada na prática |
|---|---|---|
| Delta | Sensibilidade do preço da opção a uma variação no preço do ativo | Serve de referência aproximada para a chance de a opção terminar valendo algo no vencimento, e ajuda a montar posições protegidas (hedge) contra o preço do ativo. |
| Gamma | Velocidade com que o Delta muda conforme o preço do ativo se move | Indica o quanto o Delta pode variar em movimentos bruscos do mercado |
| Theta | Perda de valor da opção conforme o tempo passa | Mostra quanto a opção tende a perder por dia, só pela aproximação do vencimento |
| Vega | Sensibilidade do preço da opção a mudanças na volatilidade | Ajuda a estimar o impacto de um evento que altere a expectativa de instabilidade do ativo |
Investidores que operam opções com frequência costumam acompanhar essas quatro gregas em conjunto, já que uma posição pode estar protegida em relação ao preço do ativo (Delta) e, ainda assim, exposta a uma mudança na volatilidade (Vega).
Diferença entre opções americanas e europeias no modelo Black-Scholes
A diferença está no momento em que a opção pode ser exercida: opções europeias só podem ser exercidas na data de vencimento, enquanto opções americanas podem ser exercidas a qualquer momento até lá.
A fórmula original do modelo Black-Scholes foi desenvolvida para opções europeias, e é nesse formato que ela funciona com maior precisão. Para opções americanas, o modelo tende a subestimar o valor em alguns cenários, principalmente quando o ativo paga dividendos antes do vencimento, já que a possibilidade de exercício antecipado pode agregar valor que a fórmula original não capta.
Na B3, as opções de compra (CALLs) de maior liquidez costumam ser do tipo americana, permitindo o exercício a qualquer momento até o vencimento. Já as opções de venda (PUTs) negociadas no mercado brasileiro são predominantemente do tipo europeia.
Como aplicar o modelo Black-Scholes em uma planilha do Excel
Antes de estruturar a planilha, reúna os dados de entrada corretos. O preço do ativo e o preço de exercício (strike) aparecem na série da opção informada pela corretora. O prazo até o vencimento segue o calendário da B3 e deve ser convertido em fração de ano (por exemplo, 3 meses equivalem a 0,25). A taxa de juros livre de risco costuma utilizar a Selic ou o CDI, e a volatilidade pode ser a histórica, calculada com base nas oscilações passadas do ativo, ou a implícita, extraída do preço de mercado das opções.
Para visualizar o cálculo, considere uma opção de compra (CALL) sobre uma ação negociada a R$ 30, com preço de exercício de R$ 30, prazo de vencimento de 3 meses (0,25 ano), taxa de juros de 10% ao ano e volatilidade estimada em 20%. Na versão do Excel em português, siga o passo a passo abaixo (caso use o Excel em inglês, substitua LN, RAIZ, EXP e DIST.NORMP.N por LN, SQRT, EXP e NORM.S.DIST):
Organize os dados de entrada: insira em células separadas o preço do ativo, preço de exercício (strike), tempo em anos, taxa de juros e volatilidade.
Calcule a variável d1: utilize a fórmula =(LN(preço_ativo/strike)+(juros+volatilidade^2/2)*tempo)/(volatilidade*RAIZ(tempo)).
Calcule a variável d2: utilize a fórmula =d1-volatilidade*RAIZ(tempo).
Calcule a distribuição normal acumulada: use a função =DIST.NORMP.N(d1; VERDADEIRO) para N(d1) e =DIST.NORMP.N(d2; VERDADEIRO) para N(d2).
Calcule o preço da opção de compra (CALL): monte a fórmula =preço_ativo*N(d1)-strike*EXP(-juros*tempo)*N(d2).
Simule cenários: altere uma variável por vez, como volatilidade ou prazo, para avaliar o impacto no preço da opção.~
Aplicando esses passos ao exemplo anterior, o cálculo resulta em d1 = 0,30 e d2 = 0,20. Consultando a distribuição normal acumulada, N(d1) ≈ 0,6179 e N(d2) ≈ 0,5793. Com esses valores, o modelo chega a um preço teórico de aproximadamente R$ 1,59 para a opção de compra.
Leia também | Duration de Macaulay: o que é, fórmula e como calcular
Limitações e premissas do modelo Black-Scholes no mercado real
O modelo Black-Scholes parte de premissas que simplificam o mercado real, por isso seu resultado é uma estimativa teórica, não uma garantia de preço. Conhecer essas limitações evita interpretar o número calculado como um valor absoluto.
Entre as principais premissas do modelo estão a volatilidade constante ao longo de toda a vida da opção, a ausência de pagamento de dividendos na versão original, a distribuição log-normal dos preços do ativo, a inexistência de custos de transação ou impostos e uma taxa de juros livre de risco constante. Nenhuma dessas condições se sustenta integralmente no mercado real.
Uma consequência dessas simplificações é o chamado sorriso de volatilidade, opções com strikes diferentes sobre o mesmo ativo costumam ser negociadas com volatilidades implícitas distintas, algo que o modelo, na teoria, não deveria permitir. Esse é um dos motivos pelos quais o preço calculado pela fórmula pode divergir do preço efetivamente negociado.
Qual a diferença entre o modelo Black-Scholes e o modelo binomial
O modelo Black-Scholes usa uma fórmula fechada e contínua para chegar a um único preço teórico. O modelo binomial divide o tempo até o vencimento em etapas discretas e monta uma árvore de cenários possíveis de preço, recalculando o valor da opção em cada etapa.
Com essa diferença de estrutura, o modelo binomial consegue incorporar a possibilidade de exercício antecipado ao longo do contrato, enquanto o Black-Scholes avalia o direito de exercício no vencimento.
O modelo binomial exige mais etapas de cálculo. À medida que o número de períodos na árvore de decisão aumenta, seu resultado converge para o valor teórico encontrado pelo Black-Scholes. Enquanto os modelos de renda fixa calculam o retorno e a sensibilidade de títulos de dívida, o Black-Scholes consolida as variáveis de mercado para determinar o preço justo dos contratos de opções.
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Compreender o modelo Black-Scholes ajuda a entender como o mercado precifica riscos e expectativas em derivativos. Esse conhecimento quantitativo complementa os conteúdos de investimentos do Serasa Ensina, voltados para quem busca organizar a carteira e tomar decisões mais fundamentadas.
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Perguntas frequentes sobre o modelo Black-Scholes
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